Та-да починил. Проблема была в правах при обновлении flatpak, что и написано в терминале. Права дал, обновления через Gnome Software пошли работать.
Рабочая схема, получается. Спасибо за информацию Андрею Черепанову. Люблю Gnome Software и есть в чем еще разобраться в плане Gnome Software