Прошу прощения за возможно некорректное описание, сложно сформулировать, как уж смог 
Так и чинить сложно будет тогда.

Интерфейс eth0, он же встроенная сетевая карта компьютера, используется по умолчанию для браузера, synaptic и т.д., а eth1 - дискретная сетевая карта, используется не далее чем для ping, если я правильно понимаю.
Нет. Всё не так. Браузер, synaptic, ping и т.д. - приложения работающие в сетях TCP/IP. Через какие, при этом, сетевые интерфейсы идёт работа - дело десятое. Ну а какая серевая карта подключена к шнурку от провайдера, а какая смотрит во внутреннюю сеть - это только Вы можете знать.
Вопрос в следующем: как сделать дискретную сетевую карту (eth1, работает стабильно) сетевым интерфейсом по умолчанию, чтобы интернет работал стабильно, а eth0 сделать второстепенной, чтобы в случае, если eth0 отваливается, интернет был в любом случае и висел на eth1, новом интерфейсе по умолчанию.
Способов несколько, но вопрос, как у Вас сеть настроена. В смысле, etcnet, или network manager.
1 (годится, если etcnet). В /etc/net/ifaces содержимое каталогов eth0 и eth1 поменять местами, переткнуть кабели.
2. (годится в обоих случаях). В /etc/udev/rules.d/70-persistent-net.rules поменять части строк (не сами строки - там привязка "MAC - имя" задаётся ) NAME="eth0" и NAME="eth1" местами. Опять же, перекинуть кабели.
Но 70-persistent-net.rules может не оказаться. В этом случае надо доустановить пакет udev-rule-generator-net. И есть такой баг:
http://bugzilla.altlinux.org/29282