Изучить предмет для начала.
компьютер находиться в домене
Прокси сервер находиться за доменом.
Чушь какая-то. Домен - это домен. Прокси-сервер - это прокси-сервер. Тут нет связи, разве что есть возможность передачи настроек.
пробовал в Mozilla пропивать прокси требует ввода логина и пароля, при вводе данных не сохроняет и постоянно просит ввод.
как исправить это ошибки
Мозилла настраивается сама по себе. Никаких проблем с настройкой Мозиллы быть не должно, если у Вас компьютер исправен. Опять же, при чём тут какой-то домен?
Ещё можно задать переменную окружения, например так:
export http_proxy="http://user:pass@proxy:port"
Некоторые приложения умеют читать такие переменные.